Андрей Мягков родился 8 июля 1938 года в Ленинграде. В 1961-м он окончил Ленинградский химико-технологический институт, после выпуска некоторое время работал на одном из научно-исследовательских предприятий в родном городе, параллельно выступая в кружке самодеятельности.

На одном из любительских спектаклей актера-самоучку заметил педагог Школы-студии МХАТ и, впечатлившись талантом Мягкова, пригласил его в учебное учреждение. В 1965-м начинающий артист выпустился с курса Василия Маркова и устроился в открытый менее чем за десять лет до этого «Современник».

На сцене театра Олега Ефремова Мягков участвовал в таких постановках, как «На дне», «Дядюшкин сон», «Обыкновенная история» и многих других. В 1977-м артист перешел во МХАТ, а после разделения театра в 1987-м остался вместе с Ефремовым в МХТ имени Чехова. На его счету были роли в спектаклях «Три сестры», «Чайка», «Горе от ума» и »Борис Годунов», впоследствии Мягков несколько раз выступил в МХТ и в качестве постановщика, а также преподавал в Школе-студии.

Однако всенародную славу Мягков получил не благодаря театру, а как киноактер.

На большом экране он дебютировал в 1965 году — в комедии Элема Климова «Похождения зубного врача», где он сыграл гениального молодого стоматолога Чеснокова, способного безболезненно удалять зубы и без всякого наркоза. В той ленте вместе с Мягковым снялась Алиса Фрейндлих, его будущая напарница по «Служебному роману».

Печаль....